Die Fouriersche Wärmeleitungsgleichung
Prof. Dr.-Ing. habil. Claus Meier
Der allgegenwärtige k-Wert (heute U-Wert) als Grundlage aller
Energieberechnungen wird aus der Fourierschen Wärmeleitungsgleichung abgeleitet.
Wie geschieht dies?
Die Herkunft des k-Wertes
Für den instationären Fall mit sonstigen
Wärmequellen lautet der Ausdruck (Skizze 1)
[1], [2]:
(1) 
(W/m³)
Wird nur das eindimensionale Temperaturfeld in x-Richtung beschrieben (dann auch
mit der Dimension s), dann folgt in etwas anderer Zuordnung (Skizze
2):
(2) 
(W/m³)
Diese reduzierte Fouriersche Gleichung als Differentialgleichung zweiter Ordnung
kann in Differenzen-Schreibweise, etwas umgestellt, auch wie folgt geschrieben
werden (Skizze 3):
(3) 
(W/m²)
Erläuterung der Formel (3):
Die rechte Seite beschreibt einmal die Differenz unterschiedlicher
Wärmestromdichten q1 und q2, die bei instationären
Verhältnissen immer auftreten (unterschiedliche Temperaturgradienten,
also Temperaturkurven und keine Geraden) und zum anderen eine sonstige
Wärmequelle (E×
D x oder analog I×
as), wie sie z. B. bei der Solarstrahlung vorliegt. Die
Wärmestromdifferenz D q
und die sonstige Wärmequelle E×
D x entsprechen dann
der eingespeicherten Energie f(c r
) auf der linken Seite der Formel.
Für die Energiebilanz einer Außenwand - und nur darum geht es - ist die
Tatsache entscheidend, daß bei vorliegenden instationären Verhältnissen der
linke Ausdruck, der die Speicherfähigkeit eines Bauteils kennzeichnet, nicht
weggelassen werden darf. Dies jedoch geschieht, wenn der stationäre Fall
weiterverfolgt wird.
Für den stationären Fall (Beharrungszustand) geht die allgemeine
Fouriersche Wärmeleitungsgleichung (1) durch Nullsetzung in die
Laplace-Gleichung (Potentialgleichung) über [3]:
(4) 
(W/m³)
Wird nun wiederum nur das eindimensionale Temperaturfeld in x-Richtung
betrachtet, dann folgt daraus in Differenzen-Schreibweise analog Formel (3)
gemäß Skizze 4:
(5) 
(W/m²)
Hier wird deutlich:
1. Die linke Seite der Fourierschen
Wärmeleitungsgleichung (s. Formel 3), also die Speicherkomponente mit dem
charakteristischen Speicherwert c und dem Massewert
r , wird zu Null.
Speicherfähigkeit wird somit ignoriert, wird nicht mehr benötigt. Der Grund
ist:
2. Die Differenz zweier Wärmestromdichten in der x-Richtung (s-Richtung)
wird auch zu Null. Wenn jedoch die Differenz zu Null wird, dann muß überall
die gleiche Wärmestromdichte q vorliegen. Der einem Volumenteilchen
zufließende Wärmestrom ist also gleich dem abfließenden Wärmestrom; Energie
wird also nicht eingespeichert - und auch nicht abgegeben. Charakteristikum
des Beharrungszustandes, des stationären Zustandes, ist also die konstante
Wärmestromdichte q mit geradlinigen Temperaturverteilungen.
3. Auch die sonstige Wärmequelle, wie z. B. die Solarstrahlung, wird zu
Null, Solarenergie wird also nicht berücksichtigt.
Durch Nullsetzung der Fourierschen Wärmeleitungsgleichung werden somit die
Speicherfähigkeit der Außenbauteile negiert, die konstante Wärmestromdichte
im Bauteil erzwungen und die Solarstrahlung ignoriert. Die konstante,
linearisierte Wärmestromdichte ist ein Charakteristikum des
Beharrungszustandes.
Diese rigorose Vorgehensweise führt dann bei der Ableitung des k-Wertes,
wenn nun für eine monolithische Konstruktion die entsprechenden Abmessungen
und Temperaturdifferenzen eingesetzt werden, zu folgender
Wärmestromdifferenz:
(6) 
(W/m²)
Wird der k-Wert verwendet, dann wird:
(7) 
(W/m²)
Erläuterung der Formel (7):
Die eckige Klammer beschreibt die Wärmestromdichte q. Die Differenz ist
Null.
Dies bedeutet: Die einem Volumenteilchen zugeführte Energie ist gleich der
abgeführten Energie, die Wärmestromdichte q in W/m² ist somit konstant, die
Temperaturlinie ist eine Gerade, Speicherung findet nicht statt.
Diese konstante Wärmestromdichte wird dann demzufolge:
(8) 
(W/m²)
Erst diese stationäre Deutung der konstanten Wärmestromdichte q führt zu der
in der DIN 4108 aufgeführten und nur für den Beharrungszustand geltenden
Formel. Von der ursprünglich aus fünf Komponenten bestehenden Fourierschen
Wärmeleitungsgleichung verbleibt durch Nichtberücksichtigung zweier
Wärmeströme (y und z-Richtung) sowie durch Nullsetzung der verbleibenden
Komponenten nur ein Ausdruck übrig.
Dieses Überbleibsel der Forierschen Wärmeleitungsgleichung ist dann die
heilige Kuh des Gebäudewärmeschutzes, nämlich der allgegenwärtige k-Wert,
der das gesamte Bauwesen wärmetechnisch beherrscht und mit seiner
Ausschließlichkeit förmlich stranguliert.
Quintessenz:
Da der Beharrungszustand bei Verwendung speicherfähigen Materials nie
eintreten kann, ist der k-Wert nicht aussagefähig, die Berechnung
fehlerhaft.
Deshalb steht auch in [4]:
"Beim Anheizen oder Auskühlen von Räumen oder bei Sonnenzustrahlung liegen
jedoch instationäre Verhältnisse vor, so daß diese durch die Werte 1/L
(oder R in m²K/W) und k (oder U in W/m²K) nicht erfaßt werden".
Diesen Satz sollten sich die k-Wert-Dogmatiker
immer wieder durchlesen und einprägen.
Diese Tatsache aber ist seit langem bekannt.
Nach Cammerer benötigt eine massive 38 cm Ziegelwand konstante
Lufttemperaturen über einen Zeitraum von mindestens drei Tagen, um den
Beharrungszustand zu erreichen [5].
Da jedoch konstante Lufttemperaturen über einen derart langen Zeitraum in
Realität nicht vorliegen, bedeutet der "Beharrungszustand" nur eine Fiktion.
Insofern ist es schon richtig, wenn in [4]
geschrieben steht:
"Die Wärmeleitung durch eine ebene Platte eines Baustoffes im
Beharrungszustand der Temperaturverteilung, das heißt nach genügend langer
Zeit bei konstanten Temperaturen zu beiden Seiten der Platte, erfolgt nach
der Gleichung ..." und nun wird die allseits bekannte, nur für den
Beharrungszustand gültige Formel genannt.
Prof. Werner (FHS München) hält für herkömmlich schwere Gebäude, bei dem der
stationäre k-Wert auch für instationäre Verhältnisse in etwa zutrifft, einen
notwendigen Zeitraum konstanter Lufttemperaturen auf beiden Seiten der
Konstruktion von bis zu drei Wochen für erforderlich
[10]. Bei drei Wochen könnten in der Tat die notwendigen
Einpendelungszeiten zum Beharrungszustand am Anfang und am Ende in etwa
vernachlässigt werden, so daß die Fehler nicht allzu groß werden.
Allerdings macht er dann den Denkfehler, statt der hierfür notwendigen
konstanten Lufttemperaturen über diesen Zeitraum nun ebenso die
statistischen Mittelwerte (z. B. Monatsmittelwerte) verwenden zu können und
glaubt wirklich, damit die täglichen Temperaturschwankungen umgehen zu
können. Welch ein kapitaler Irrtum ist dies doch; Trugschlüsse sind in der
offiziellen Bauphysikszene offensichtlich weit verbreitet.
Den Grundstein für diesen Irrtum legte bereits Prof. Gertis in
[6], indem er schrieb:
"Der Dämmwert (und damit der k-Wert) beschreibt die
Transmissionswärmeverluste durch ebene Außenbauteile nicht nur im
stationären Temperaturzustand, sondern auch bei beliebig
periodisch-instationären Randbedingungen im Periodenmittel in zutreffender
Weise, dabei kann es sich um eine Tagesperiode, eine Heizperiode oder einen
ganzen Jahres. bzw. Mehrjahreszyklus handeln. Der k-Wert stellt somit auch
eine instationäre Kenngröße dar, welche den stationären Sonderfall mit
einschließt".
Hier wird in fataler Weise von einer falschen Ausgangsposition ausgegangen.
Diese Lesart gilt nämlich nur dann, wenn statt der Fourierschen
Wärmeleitungsgleichung (Gleichung 1) die "Laplace-Gleichung"
(Potentialgleichung), gültig nur für den Beharrungszustand (Gleichung 4),
nun als Diffentialgleichung zweiter Ordnung numerisch weiterbehandelt wird -
und hierfür kann dann in der Tat auch der Mittelwert verwendet werden.
Beim Beharrungszustand jedoch werden durch die Nullsetzung der Fourierschen
Wärmeleitungsgleichung, und darauf muß hier besonders erinnert werden,
folgende Randbedingungen vorausgesetzt und angenommen:
1. Die Solarstrahlung wird nicht berücksichtigt.
Aber gerade diese garantiert doch die entscheidenden Vorteile bei der
Energiebilanz einer Außenwand. Immerhin ergeben sich äußere
Wandoberflächentemperaturen von etwa 10 bis 30°C, die das Wärmegefälle in
der Außenwand umdrehen.
2. Die Wärmestromdichte im Außenbauteil bleibt generell konstant. Jedem
Bauphysikbuch kann dies entnommen werden; bei seriösen Büchern wird dann
auch besonders auf den Beharrungszustand hingewiesen.
Bei Außentemperaturänderungen und Solarstrahlung tritt jedoch dieser
Beharrungszustand nicht sofort ein, sondern benötigt wegen der
Speicherfähigkeit der Wand dazu eine gewisse Zeit (bei speicherfähigen
Baustoffen dauert das Einpendeln bis zu drei Tage). Konstante
Wärmestromdichten sind deshalb nur fiktiv.
3. Erst durch 1. (Solarstrahlung gleich null) und 2. (konstante
Wärmestromdichte) wird die Speicherfähigkeit nicht beansprucht, sie spielt
dann keine Rolle mehr.
Diese Randbedingungen sind im täglichen 24 Stunden Rhythmus jedoch reine
Fiktion, denn bei Temperaturänderungen und Sonnenzustrahlung wird ein neuer
Beharrungszustand, also die gerade Temperaturlinie, nicht schlagartig und
sofort erreicht, sondern erst nach Stunden oder Tagen. Allein nur wenig
speicherfähiges Material (wie z. B. Styropor oder Mineralwolle) ist in der
Lage, den neuen Beharrungszustand relativ schnell zu erreichen und damit dem
k-Wert entgegenzukommen. Eventuelle Simulationsrechnungen behandeln somit
entweder eine Situation, die es in Realität überhaupt nicht gibt oder sie
gelten nur für speicherloses Material. Damit aber dominiert auf der ganzen
Linie die rechnerische Utopie.
Da jetzt durch die EnEV 2000 die Altbausubstanz, also massive,
speicherfähige Wände, der k-Wert Doktrin unterworfen werden sollen, beruht
diese Verpackungskampagne auf Fehlschlüssen und Falschaussagen. Es ist schon
recht erstaunlich, daß gerade die besonders fatalen Irrtümer derart Furore
machen und eine lawinenartige Verbreitung finden. Dies aber ist im
Lobbyistenstaat wohl kein Einzelfall.
Fragt man nach der Ursache, warum nun trotz dieser Widersprüche der k-Wert
allerorts verwendet wird, so liefert vielleicht ein Satz aus
[1] den Grund:
"Weiterhin liegt in den wenigsten Fällen ein stationäres Temperaturprofil
vor. Die Zeitabhängigkeit bedingt, daß die Fouriersche Wärmeleitgleichung
nicht mehr geschlossen lösbar ist und daß man auf umfangreiche mathematische
Methoden oder grafische Verfahren übergehen muß".
Es wird gerechterweise bestätigt, daß in den wenigsten Fällen ein
stationäres Temperaturprofil vorliegt. Dies ist positiv zu werten. Es wird
aber auch unmißverständlich festgestellt, daß ein instationäres
Temperaturprofil "umfangreiche Methoden" oder "grafische
Verfahren" erfordert.
Sind es nun die umfangreichen Methoden, warum man sich vehement sträubt, bei
massiven Außenwänden die instationär wirkende Solarstrahlung und die
Speicherfähigkeit einer Außenwand mit in die Berechnung einzubeziehen?
Deshalb wird ja auch ständig behauptet, die Solarstrahlung und die
Speicherfähigkeit hätten nur einen sehr geringen Einfluß auf die
Transmissionswärmeverluste einer Außenwand. Auch wird die k-Wert-Berechnung
ja damit begründet, daß es sich hierbei um ein "Vereinfachtes
Berechnungsverfahren" handele.
Ehe man aber mit dem k-Wert wegen der Scheu vor "schwierigen
Rechenmechanismen" völlig falsch rechnet, wäre es doch erstrebenswerter,
ein Rechenverfahren einzusetzen, das, in deduktiver Weise abgeleitet, die
wirklichen Verhältnisse ziemlich genau beschreibt und zu Ergebnissen kommt,
die realistisch sind [7],
[8]. Empirische Untersuchungen zeigen ja die Diskrepanz zwischen
Rechnung und Realität.
Resümee:
Die reduzierte Fouriersche
Wärmeleitungsgleichung in Differenzen-Schreibweise (3) wird trotz des in der
Wirklichkeit nie vorliegenden Beharrungszustandes in unzulässiger Weise zu
Null gesetzt. Man erhält damit eine reduzierte Laplace-Gleichung (5) und
damit die Formel für den im Gebäudewärmeschutz alles bestimmenden k-Wert
nach DIN 4108 (8).
Alle Berechnungen mit diesem, nur für den Beharrungszustand gültigen k-Wert
entsprechen somit nicht der Wirklichkeit, der k-Wert ist schlichtweg ein
Phantom, eine Fiktion [9].
Die Skizzen 1-4:
Literatur:
[1] Cziesielski, E.; Daniels, K.; Trümper, H::
Ruhrgas Handbuch - Haustechnische Planung. Hrsg. Ruhrgas AG, Karl Krämer
Verlag Stuttgart 1985.
[2] Lutz, P.; Jenisch, R.; Klopfer, H.; Freymuth, H.; Krampf, L; Petzold,
K:: Lehrbuch der Bauphysik, Teubner Verlag Stuttgart, 3. Auflage 1994.
[3] Klement, E.; Rudolphi, R:: Zur numerischen Abschätzung der stationären
Temperaturverteilung im Querschnitt von Schornsteinen. Technische
Mitteilungen 1979, H. 2/3/4, S. 323.
[4] Gösele, K.; Schüle, W:: Schall, Wärme, Feuchte. Bauverlag Wiesbaden
Berlin 1985. ]
[5] Cords-Parchim, W:: Technische Bauhygiene. Teubner Verlag Leipzig, 1953.
[6] Gertis, K:: Das hochgedämmte massive Haus. Bundesbaublatt 1983, H. 3, S.
149 und H. 4, S. 203.
[7] Meier, C:: Gut gespeichert ist auch gedämmt. deutsche bauzeitung 1999,
H. 5, S. 138.
[8] Meier, C:: Entwickelt der Wärmeschutz sich zum Phantom. Deutsches
Ingenieurblatt 1999, H. 5, S. 16.
[9] Meier, C:: Richtig oder falsch. Ist der k-Wert als Maß für den
Energieverbrauch gültig? bausubstanz 1999, H. 7-8, S. 46.
Werner, H:: Leserbrief zu [7] in deutsche bauzeitung 1999, H. 8, S. 30.
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